Analysis 2: Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche by Otto Forster

By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik im ersten Studienjahr dar und beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Differentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind.
Das Buch enthält zahlreiche Übungsaufgaben. Die Neuauflage wurde durch einige neue Abbildungen mit erläuterndem textual content ergänzt. Das zugehörige Übungsbuch mit Lösungen unterstützt die Studierenden beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen).

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F¨ur x ∈ X werde deſniert M(x) := max( f (x), g(x)), \(x) := min( f (x), g(x)). Man zeige, dass die Funktionen M, \ : X → R stetig sind. 2. Sei W der offene W¨urfel im Rn , W := {(x1 , . . , xn ) ∈ Rn : |xi | < 1 f¨ur i = 1, . . , n} Man konstruiere einen Hom¨oomorphismus von W auf die Einheitskugel B1 (0) = {x ∈ Rn : x < 1}. 3. Man zeige, dass der Vektorraum C [a, b] aller stetigen Funktionen f : [a, b] → R auf dem kompakten Intervall [a, b] ⊂ R mit der Supremumsnorm f := sup{| f (x)| : x ∈ [a, b]} vollst¨andig ist.

2) Beispiel. Sei (X , d) ein metrischer Raum und x0 ∈ X . Die Funktion f : X → R sei deſniert durch f (x) := d(x, x0 ), (Abstand vom Punkt x0 ). h. | f (x) − f (a)| < H f¨ur d(x, a) < H. Beim H-G-Kriterium kann man also hier G = H w¨ahlen. I. Differentialrechnung im Rn 22 Deſnition. Seien X ,Y topologische R¨aume und f : X → Y eine Abbildung. Die Abbildung f heißt stetig im Punkt a ∈ X , wenn zu jeder Umgebung V von f (a) ∈ Y eine Umgebung U von a existiert mit f (U ) ⊂ V . Die Abbildung f heißt stetig auf X (oder stetig schlechthin), wenn sie in jedem Punkt x ∈ X stetig ist.

2 Grenzwerte. Stetigkeit 23 Deſnition (Hom¨oomorphismus). Seien X ,Y topologische R¨aume. Eine bijektive Abbildung f : X → Y heißt Hom¨oomorphismus (oder topologische Abbildung), wenn f stetig ist und die Umkehrabbildung f −1 :Y → X ebenfalls stetig ist. Zwei topologische R¨aume heißen hom¨oomorph, wenn es einen Hom¨oomorphismus f : X → Y gibt. 4) Als Beispiel zeigen wir, dass der Rn zur offenen Einheitskugel B := {x ∈ Rn : x < 1} hom¨oomorph ist. Ein Hom¨oomorphismus f : Rn → B wird gegeben durch x .

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