Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, by K. Jänich

By K. Jänich

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Dt = 2ni, 2" dz = z i! 0 o re" und dies ist das einfachste und zugleich wichtigste Beispiel eines geschlossenen Integrals über einen analytischen Integranden, bei dem nicht Null herauskommt. - Aus diesen beiden Notizen erhalten wir auch das L anz n eine für r < I z I < R konvergente Laurentreihe und ist Korollar: Ist fez) n =·- oo r< rl < R, sogilt 1 f(z)dz = I z l ~ rl f a~1 I z l ~ rl besitzen;alsoa_ 1 = _1_. 2nl Figur 90 dz = 2nia_ l , weil die anderen Terme Stammfunktionen 1 J f(z)dz(" Residuum"derLaurentreihe, vgl.

Grob gesagt: Eine "analytische Formel", die im Reellen richtig ist, gilt auch im Komplexen. Das muß natürlich gehörig präzisiert werden, und insbesondere heißt § 5 Die Elementaren Funktionen im Komplexen 39 es nicht, daß sich nun Alles und Jedes direkt ins Komplexe überträgt, z. B. sind wir an 1, Icosx I ~ 1 für alle x E IR fest gewöhnt, Isinx I ~ - 1 Figur 62 aber das bleibt im Komplexen nicht richtig, denn es ist ja offenbar (8) cos ix = cosh x und sin ix = i sinh x, also gehen cos und sin auf der imaginären Achse gegen oo!

Die interessanteren Beispielklassen analytischer Funktionen erhält man durch Grenzprozesse: Weierstraßscher Konvergenzsatz über die Analytizität des Limes bei lokal gleichmäßiger Konvergenz. Die elementaren Funktionen e Z , cos z, sin z, sinh z werden wie im Reellen durch ihre Potenzreihen definiert, viele Eigenschaften übertragen sich ins Komplexe. Die e-Funktion bildet gewisse horizontale Streifen konform auf die geschlitzte Ebene ab; die Umkehrungen sind die Logarithmuszweige. In z ist Stammfunktion von 1 .

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