Analysis und Zahlentheorie: Vorlesung Hamburg 1920 by Erich Hecke (auth.), Prof. Dr. Peter Roquette (eds.)

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Da aber a o rational ist, mu~ diese Kongruenz auch mod £ gelten, also £/a o • Khnlich konnen wir nun schlie~en, da~ aIle a i durch £ teilbar sind. In der Tat, sei a der erste nicht durch £ teilbare Koeffizient. " £ gilt, folgt Da (20) auch mod a A" + a A,,+l + ••• + a n _ 2 A£-2 = 0 (mod (£) ",,+1 '" also durch Division mit A" wegen " < £-1: a" + a,,+lA + ••• =a = (A)£-l) (mod (A)£-l-,,) also auch (mod (A)) • Demnach a = a (mod A) also auch (mod £) im Widerspruch zu der Annahme, da~ a" der erste nicht durch £ teilbare Koeffizient sei.

FUr diesen werden im Folgenden noch kurz die grundlegenden Begriffe und Satze zusammengestellt. [Man vergleiche etwa Weber, Bd. V. Bd. IV; Bachmann, Zahlentheorie 5. ] 1) Korper. Es sei ein algebraischer Zahlkorper n. Grades gegeben. Wir werden die in ihm enthaltenen ganzen algebraischen Zahlen betrachten. Der Begriff der ganzen Zahl hat absolute 'Bedeutung, ist also nicht etwa mit Bezug auf den zu Grunde liegenden Korper definiert. Es gibt im Korper eine Basis. h. ) n n xi darstellbar sind. Mit ",(1 seien die Konjugierten zu '" bezeichnet.

LaBt a keine Zerlegung im Korper E auBer sOlchen trivialen zu, so heiBt a Primzahl. Jede ganze Zahl laBt sich multiplikativ in Primzahlen zerlegen, aber im Allgemeinen nicht auf eindeutige Weise, auch dann nicht, wenn man von der Unbestimmtheit durch Einheitsfaktoren und durch die Reihenfolge absieht. Diese Schwierigkeit wurde erst von Kummer Uberwunden. , wo A und ~ irgend zwei ganze Korperzahlen sind. a. mit J. J. ganzen rationalen xi darstellbar sind. Dabei ist (2) = 1I(a 1 , ... ,a n ) d·N 2 N ist ganz rational, und sind ganze rationale Koeffizienten c ik so bestimmt, daB a· = L c,kw k ist, so ist N = Icikl die J.

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