Asymptotic expansions, derivation and interpretation by R.B. Dingle

By R.B. Dingle

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Dafür gilt dann auch jan aj < ". Zu (iii): Sei jan j < c für alle n 2 N. Dann gilt: jan bn j cjbn j. Wähle zu " > 0 " ein N 2 N, sodass für alle n > N gilt: jbn j < cC1 . Dafür ist dann auch jan bn j c " < ". cC1 J . Lemma (Meidungsprinzip). an / sei konvergent zum Grenzwert a. Dann gilt (i) Ist b > a, so existiert ein n0 2 N, sodass für alle n n0 gilt: an < b.

Also ist A nach unten beschränkt. Insbesondere ist inf B untere Schranke von A, also inf A inf B. Konventionen Neue Mengen werden oft als Bildmengen gegebener Mengen konstruiert. In der Mengenlehre hat man dafür folgende Schreibweise: Ist eine Abbildung f W X ! x/ mit x 2 M ). Diese Symbolik wird nun auch dann angewendet, wenn das Funktionszeichen f nicht benannt ist, sondern nur die Funktionsvorschrift x 7! x/. So haben wir oben, wenn M eine Teilmenge von R ist, das Symbol M eingeführt als die Menge f x j x 2 M g; die Abbildungsvorschrift ist hierbei x 7!

Die Menge N der natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt. Beweis. Wäre N nach oben beschränkt, so sei s0 ´ sup N 2 R. Dann kann s0 1 nicht auch obere Schranke von N sein. h. mit n0 C 1 > s0 . Wegen n0 C 1 2 N, widerspricht dies der Eigenschaft von s0 , obere Schranke von N zu sein. B. Folgerung (Archimedische Eigenschaft von R). Zu jedem a > 0 und b aus R gibt es ein n 2 N mit na > b. Anschaulich gesprochen: Durch wiederholtes aneinander Fügen einer (noch so kleinen) Strecke a > 0 kann jede (noch so große) Strecke b > 0 übertroffen werden.

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